完全图 $K_n$ 的双壳可绘图形

Harary--Hill 猜想在 50 多年后仍未解决，它断言完全图 $K_n$ 的交叉数为 $H(n) = \frac 1 4 \left\lfloor\frac{\mathstrut n}{\mathstrut 2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{\mathstrut n-1}{\mathstrut 2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{\mathstrut n-2}{\mathstrut 2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{\mathstrut n-3}{\mathstrut 2}\right \rfloor$。Ábrego 等人引入了 $K_n$ 的绘图 $D$ 的壳性（shellability）概念。他们证明了若 $D$ 对某个 $s\geq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ 是 $s$-壳可绘的，则 $D$ 至少有 $H(n)$ 个交叉。这是首个保证至少 $H(n)$ 个交叉的绘图组合条件。在本工作中，我们将 $s$-壳性推广至双壳性（bishellability），其中前者蕴含后者，即每个 $s$-壳可绘的绘图对任意 $b \leq s-2$ 也是 $b$-双壳可绘的。我们的主要结果是，$K_n$ 的绘图 $D$ 的 $(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\!-\!2)$-双壳性也保证 $D$ 至少有 $H(n)$ 个交叉，且证明比 $s$-壳性更简单。我们展示了一个 $K_{11}$ 的绘图，它具有 $H(11)$ 个交叉，是 3-双壳可绘的，且对任意 $s\geq5$ 不是 $s$-壳可绘的。这表明我们已恰当扩展了证明 Harary-Hill 猜想成立的绘图类。此外，我们给出了 $K_n$ 的一个无限绘图族，它们是 $(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\!-\!2)$-双壳可绘的，但对任意 $s\geq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ 不是 $s$-壳可绘的。