$K_n$ 的 2-页交叉数

大约在 1958 年，Hill 描述了如何绘制具有 [Z(n) :=1/4\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor \lfloor \frac{n-2}{2}% \rfloor \lfloor \frac{n-3}{2}\rfloor] 个交叉点的完全图 $K_n$，并猜想 $K_n$ 的交叉数 $\crg (K_{n})$ 恰好等于 Z(n)。这也被称为 Guy 猜想，因为他后来使其广为人知。在本世纪末，发现了具有 Z(n) 个交叉点的 $K_{n}$ 的截然不同的画法。这些画法是\emph{2-页书形画法}，即所有顶点位于一条直线 $\ell$（脊线）上，且每条边完全包含在由 $\ell$ 定义的两个半平面（页）之一中。$K_{n}$ 的\emph{2-页交叉数}，记为 $\nu_{2}(K_{n})$，是由 $K_{n}$ 的 2-页书形画法确定的最小交叉数。由于 $\crg(K_{n}) \le\nu_{2}(K_{n})$ 且 $\nu_{2}(K_{n}) \le Z(n)$，迈向 Hill 猜想的一个自然步骤是 Vrt'o 推广的（形式上）较弱猜想 $\nu_{2}(K_{n}) = Z(n)$。据我们所知，这一自然猜想最早由 Imrich Vrt'o 于 2007 年提出。在本文之前，关于 $\nu_2(K_n)$ 的已知结果基本上与 $\crg (K_n)$ 相同。在本文中，我们开发了一种新颖且创新的技术来研究 $K_{n}$ 画法中的交叉点，并利用它证明了 $\nu_{2}(K_{n}) = Z(n)$。为此，我们将平面上有限点集 $k$-边的固有几何定义扩展到 $K_{n}$ 的拓扑画法。我们还引入了 ${\leq}{\leq}k$-边的概念，作为 ${\leq}k$-边的有用推广，并将一个强大的定理（该定理用 $(\le k)$-边的数量表达了 $K_{n}$ 直线画法中的交叉数）扩展到拓扑情形。