完全图序列可壳化绘图的交叉数

Harary-Hill 猜想断言，对于任意 $n>0$，$n$ 个顶点的完全图 $K_n$ 在所有可能绘图中的最小交叉数等于\n\begin{align*} H(n) := \frac{1}{4}\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-1}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-2}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-3}{2}\Big\rfloor\text{.} \end{align*}\n迄今为止，该猜想的下界仅能对 $n\leq 12$ 的 $K_n$ 任意绘图得到验证。近年来，在验证该猜想对某些特定类别绘图的适用性方面取得了进展，例如 $2$-页书绘图、$x$-单调绘图、$x$-有界绘图、可壳化绘图与双可壳化绘图。到目前为止，双可壳化绘图是已验证 Harary-Hill 猜想的最广泛绘图类别，因为它包含了前述所有类别。在本文中，我们引入了序列可壳化绘图类别，并针对这一新类别验证了 Harary-Hill 猜想。我们证明了双可壳化蕴含序列可壳化，并展示了一个 $K_{11}$ 的非双可壳化但序列可壳化的绘图，因此序列可壳化绘图类别严格包含双可壳化绘图类别。