超越纳什-威廉斯：所有大于三角形的完全图分解阈值的反例

极端设计理论中的一个核心开放问题是1970年纳什-威廉斯的猜想：每个$K_3$可分割的$n$顶图（当$n$足够大时）最小度至少为$\frac{3n}{4}$都有$K_3$分解。纳什-威廉斯猜想的一种信传推广至所有$q\ge 4$：每个$K_q$可分割的$n$顶图（当$n$足够大时）最小度至少为$\left(1-\frac{1}{q+1}\right)n$都有$K_q$分解。我们反驳了所有$q\ge 4$的猜想；即，我们证明对于每个$q\ge 4$，存在$c > 1$使得存在无限多个$K_q$可分割图$G$，其最小度至少为$\left(1-\frac{1}{c\cdot(q+1)}\right)v(G)$且无$K_q$分解；事实上我们构造它们不具备分数$K_q$分解，从而反驳了该猜想的分数松弛版。我们的结果也反驳了更一般的部件版本。事实上，我们甚至证明信传猜想相差一个乘法因子，通过表明对于每一个$\varepsilon > 0$和每个足够大的整数$q$，存在无限多个$K_q$可分割图$G$，其最小度至少为$\bigg(1-\frac{1}{\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}-\varepsilon\right)\cdot (q+1)}\bigg)v(G)$且无（分数）$K_q$分解。