稠密超图的分数 Clique 分解

2014 年，Keevash 在解决组合设计存在猜想 (可追溯至19世纪中叶) 的过程中证明了 $(n,q,r)$-Steiner 系统的存在。2020 年，Glock、K"uhn 与 Osthus 提出最小度数一般化猜想：具体而言，最小 $(r-1)$ 度至少 $(1-\frac{C}{q^{r-1}})n$ 足以保证每个足够大的 $K_q^r$-可除 $r$ 均匀超图在 $n$ 个顶点上容纳 $K_q^r$-分解（其中 $C$ 为可依赖于 $r$ 但不可依赖于 $q$ 的常数）。本猜想的最佳已知进展来自 Glock、K"uhn、Lo 与 Osthus 于 2016 年第二次证明存在猜想的人，他们表明 $(1-\frac{C}{q^{2r}})n$ 足以。分数松弛版猜想是改进该界限的关键；对于此，仅已知略优于 $(1-\frac{C}{q^{2r-1}})n$ 的界限，来自 Barber、K"uhn、Lo、Montgomery 与 Osthus 于 2017 年的工作。我们的主要结果是证明 $(1-\frac{C}{q^{r-1+o(1)}})n$ 足以实现分数松弛版。结合 R{"o}dl、Schacht、Siggers 与 Tokushige 于 2007 年的工作，这也表明此类超图容纳近似 $K_q^r$-分解。