关于 Frick 与 Jafari 的两个猜想

2022年，Hamid Reza Daneshpajouh 为 Florian Frick 的如下猜想提供了一些反例。\bf 猜想。设 $r \geq 3$。则 ground set $[n]$ 上的每个超图 ${\cal G}$ 满足 $$\chi \left({\rm KG}^r ({\cal G}_{r-{\rm stable}})\right) \geq \left\lceil \frac{{\rm cd}^r ({\cal G})}{r-1} \right\rceil .$$ 在本文中，我们改进了 Danashpajouh 的结果。同时，我们为 Amir Jafari 最近的如下猜想提供了若干反例。猜想。若 $s \geq r \geq 2$，则对任意顶点集为 $[n]$ 的超图 ${\cal G}$，有 $$\chi \left({\rm KG}^r ({\cal G}_{s-{\rm stable}})\right) \geq \left\lceil \frac{{\rm ecd}^s ({\cal G})}{r-1} \right\rceil .$$