近似分解爆破引理的一个简短证明

Kim、K\"uhn、Osthus 和 Tyomkyn（Trans. Amer. Math. Soc. 371 (2019), 4655--4742）通过证明“近似分解爆破引理”极大地推广了 Koml\'os、S\'ark\"ozy 和 Szemer\'edi 的著名爆破引理，该引理指出多部拟随机图几乎可分解为任意具有相同的多部结构且边数略少的有界度图集合。Joos、Kim、K\"uhn 和 Osthus 已利用该结果证明了 Gy\'arf\'as 和 Lehel 于 1976 年提出的树填充猜想以及 Ringel 于 1963 年提出的有界度树情形下的 Ringel 猜想，并且 Glock、Joos、Kim、K\"uhn 和 Osthus 近期对 Oberwolfach 问题（Ringel 于 1967 年提出）的解决也隐含使用了该结果。在此我们给出近似分解爆破引理的一个新的且显著更简短的证明。事实上，我们证明了一个更一般的定理，其给出具有更强拟随机性质的填充，从而可与 Keevash 关于设计的结果结合得到如下形式的结论。对所有 $\varepsilon>0$、$r\in \mathbb{N}$ 及所有大 $n$（使得 $r$ 整除 $n-1$），只要 $H_1,\ldots,H_{\varepsilon n}$ 在每个大小不超过 $\varepsilon^{-1}$ 的分量中至少含有 $\varepsilon n$ 个顶点，就将 $K_n$ 分解为顶点数为 $n$ 的任意 $r$-正则图集合 $H_1,\ldots,H_{(n-1)/r}$。