在少量直线和少量平面上绘制图的复杂性

众所周知，任何图在 $\mathbb{R}^3$ 中都存在无交叉直线绘制，而任何平面图甚至在 $\mathbb{R}^2$ 中也存在此类绘制。对于图 $G$ 和 $d \in \{2,3\}$，令 $\rho^1_d(G)$ 表示 $\mathbb{R}^d$ 中包含 $G$ 的无交叉直线绘制所需的最少直线数量。对于 $d=2$，$G$ 必须是平面图。类似地，令 $\rho^2_3(G)$ 表示 $\mathbb{R}^3$ 中包含 $G$ 的无交叉直线绘制所需的最少平面数量。我们研究了计算这三个参数的复杂性，并获得了以下硬度和算法结果。- 对于 $d\in\{2,3\}$，我们证明了判定给定图 $G$ 和整数 $k$ 是否满足 $\rho^1_d(G)\le k$ 是 ${\exists\mathbb{R}}$-完全的。- 由于 $\mathrm{NP}\subseteq{\exists\mathbb{R}}$，判定 $\rho^1_d(G)\le k$ 对于 $d\in\{2,3\}$ 是 NP-难的。在积极方面，我们表明该问题关于 $k$ 是固定参数可处理的。- 由于 ${\exists\mathbb{R}}\subseteq\mathrm{PSPACE}$，$\rho^1_2(G)$ 和 $\rho^1_3(G)$ 均可在多项式空间内计算。在消极方面，我们表明关于 $\rho^1_2$ 或 $\rho^1_3$ 最优的绘制有时需要无理坐标。- 我们证明了对于任何固定的 $k \ge 2$，判定 $\rho^2_3(G)\le k$ 是 NP-难的。因此，除非 $\mathrm{P}=\mathrm{NP}$，否则该问题关于 $k$ 不是固定参数可处理的。