共形映射的极值点与支撑点

本文包含三类结果。第一类，推广了关于省略两个等模值的共形映射的一个表示定理。该定理源于Brickman和Wilken。他们构造了一个两项凸组合的表示。我们的表示构造了项数无限制的凸组合。在极限情形下，可将其视为在均匀分布的概率空间上的积分。第二类结果确定了$\Re L(\overline{z}_0(f(z))^2)$的符号，直至一个余项，该余项用由$f(z)$诱导的Löwner链的某个积分表示，其中$f(z)$是最大化$\Re L$的支撑点。这里$L$是$H(U)$上的连续线性泛函，$H(U)$是单位圆盘$U=\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z|<1\}$上全纯函数构成的拓扑向量空间。已知这样的支撑点是狭缝映射，且$f(z_0)$是狭缝$\mathbb{C}-f(U)$的尖端。第三类展示了$S$的子空间$S_n$的支撑点的某些性质。$S_n$包含$S$中所有次数不超过$n$的多项式。例如，这样的支撑点$p(z)$的导数$p'(z)$在$\partial U$上有一个零点。