穿孔曲面基本群到 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 的超极大表示

我们研究从穿孔球面 $\Sigma_{0,n}$ 的基本群到群 $\text{PSL} (2,\mathbb R)$ （及其模空间）的一类特殊表示，我们称之为\emph{超极大}表示。超极大表示被证明是\emph{完全非双曲}的，即每条简单闭曲线都被映射到非双曲元素。它们也被证明是\emph{可几何化}的（不可约的超极大表示除外），在如下极强的意义下：对于 Teichm\"uller 空间 $\mathcal T_{0,n}$ 中的任意元素，存在唯一的取值于下半平面 $\mathbb H^-$ 的全纯等变映射。在相对特征标簇中，超极大表示的连通分支被证明是紧的，并且（关于 Atiyah-Bott-Goldman 辛结构）辛同胚于维数为 $n-3$ 的复射影空间，该空间装备了某个 Fubiny-Study 形式的倍数，我们显式计算了该倍数（这推广了 Benedetto--Goldman 关于挖去四点的球面的结果）。这些是 $\text{PSL}(2,\mathbb R)$ 的相对特征标簇中唯一的紧连通分支。后一事实将在另一篇论文中证明。