复 Lagrangian 最小曲面、双复 Higgs 束与 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$-准 Fuchsian 表示

本文引入了双复双曲空间中的复 Lagrangian 最小曲面，并研究其与 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$ 表示的关系。我们的理论同时也概括了复双曲平面中的 Lagrangian 最小曲面、$\mathbb{R}^3$ 中的双曲仿射球面，以及 $\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1 \setminus \Delta$ 中 Bers 嵌入。若这些曲面在 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$ 表示下具有等变性，我们的方法概括了 $\mathrm{SU}(2,1)$ 中几乎 $\mathbb{R}$-Fuchsian 表示、$\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 中的 Hitchin 表示以及 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 中的准 Fuchsian 表示。此外，我们通过 Teichmüller 空间上三次复微分光张量束的两个拷贝的开集，对 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$-准 Fuchsian 表示进行参数化，从而推断该表示空间具备双复结构。在此过程中，我们引入了双复 Higgs 束作为研究半简单复 Lie 群表示的新工具。