Higgs 丛、拉格朗日量与镜对称

本论文致力于研究紧黎曼面上 Higgs 丛模空间中的某些轨迹。受镜对称启发，我们详细描述了分别对应于实形式 $G_0 = SU^*(2m)$、$SO^*(4m)$ 与 $Sp(m,m)$（其复化群分别为 $G = SL(2m,\mathbb{C})$、$SO(4m,\mathbb{C})$ 与 $Sp(4m,\mathbb{C})$）的 $G$-Hitchin 纤维化中包含 $G_0$-Higgs 丛的纤维。与这些纤维相关的谱曲线是 ribbon 的例子，我们的描述以两种不同方式给出：一种借助与谱曲线相关的约化概型上的对象，另一种借助（非约化）谱曲线。我们提供了两种途径之间的联系。利用这一描述，我们给出了 Langlands 对偶群 $G$ 的 Higgs 丛模空间内对偶 BBB-brane 支撑集的猜想，印证了猜想中的图像。在论文第二部分，我们讨论 $G$-Higgs 丛模空间中的 Gaiotto 拉格朗日子簇，其中 $G$ 为复约化群。这些拉格朗日量由 $G$ 的辛表示得到，我们讨论了它的一些一般性质。随后我们将注意力集中于辛群标准表示下的 Gaiotto 拉格朗日量。这是辛 Hitchin 纤维化幂零锥的一个不可约分支。我们利用限制在相关拉格朗日量上的 Higgs 丛模空间上通常的 Morse 函数描述了该分支。最后，我们讨论了本论文所发展思想的若干自然问题与应用。特别地，我们简要谈及超全纯丛、如何将 Gaiotto 拉格朗日量推广到具有多个截面的向量丛，并给出正交群下 Gaiotto 拉格朗日量的类比。