实群的希格斯丛与 Hitchin-Kostant-Rallis 截面

我们考虑紧黎曼曲面 $X$ 上多稳定 $L$-扭转 $G$-希格斯丛的模空间，其中 $G$ 为实约化李群，$L$ 为 $X$ 上的全纯线丛。在迷向表示的多项式不变量环的一组基上取值 Higgs 场，可定义 Hitchin 映射。这是一个到仿射空间的映射，其维数由 $L$ 和基中多项式的次数决定。在 Kostant-Rallis 与 Hitchin 工作的基础上，作为研究 Hitchin 映射的第一步，我们构造了该映射的一个截面。这推广了当 $L$ 为 $X$ 的典范线丛且 $G$ 为复群时 Hitchin 构造的截面。在此情形下，该截面的像与 $X$ 的基本群在 $G_{\mathrm{Split}}$（$G$ 的分裂实形式）中的表示模空间的 Hitchin-Teichmüller 分支相关。事实上，我们的构造非常自然，因为我们可以从 $G_{\mathrm{Split}}$ 的模空间出发，而非 $G$，直接为 $G_{\mathrm{Split}}$ 的 Hitchin 映射构造截面。该构造涉及实约化李群的最大分裂子群的概念。