复仿射球与 SL(3,C) 的 Bers 定理

设 $S$ 为 genus 至少为2的闭曲面，记 $\mathrm{Hit}_3(S)$ 为表示到 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 的 Hitchin 构型，配以 Labourie-Loftin 复结构。我们构造了一个由映射类群等变的全續映射，从 $\mathrm{Hit}_3(S)\times \overline{\mathrm{Hit}_3(S)}$ 中较大开子集到 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$-character variety 中，该映射在对角线上限制为单位映射，在 $\mathrm{T}(S)\times \overline{\mathrm{T}(S)}$ 上限制为 Bers 的同时均匀化。该开子集包含 $\mathrm{Hit}_3(S)\times \overline{\mathrm{T}(S)}$ 与 $\mathrm{T}(S)\times \overline{\mathrm{Hit}_3(S)}$，其像包含 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$-opers 的 holonomy。该映射通过将 Hitchin 表示关联到 $\mathbb{C}^3$ 中的嵌入而实现，我们称为复仿射球，这些嵌入等价于 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{C})/\mathrm{SO}(3,\mathbb{C})$ 中的 certain conformal harmonic maps，亦等价于称为 bi-Higgs 束的新对象。复仿射球通过求解类似 Beltrami 方程和 Tzitz\'eica 方程的二阶复椭圆 PDE 来获得。为研究该方程，我们建立了应独立感兴趣的分析结果。