椭圆与抛物障碍型拟变分不等式的 Lipschitz 稳定性与 Hadamard 方向可微性
最优化与控制
2021-05-14 v1
摘要
本文关注一类在障碍型拟变分不等式背景下出现的参数化不动点问题的敏感性分析。我们证明，若所考虑不动点方程中的算子满足正超齐次性条件，则该问题解集的最大元与最小元对所含参数局部 Lipschitz 连续依赖。我们进一步表明，若某些凹性条件成立，则最大解映射是 Hadamard 方向可微的，且其方向导数恰为适当定义的线性化不动点方程的最小解。与先前结果相反，我们的分析既不需要 Dirichlet 空间结构，也不需要对所涉算子的映射行为与正则性施加限制性假设，亦不需要对方向导数中所考虑的方向施加符号条件。我们的方法同时涵盖椭圆与抛物情形，并且还在不动点方程解集为连续统、且通过线性化辅助问题刻画方向导数被证明不可能的情况下给出 Hadamard 方向可微性结果。为说明我们的结果可用于研究实践中出现的有趣问题，我们将它们应用于建立一类非线性椭圆拟变分不等式的解算子的 Hadamard 方向可微性（该不等式出现在脉冲控制中，其障碍映射通过对底层域的某些部分取本质下确界获得），以及一类抛物拟变分不等式的解映射的 Hadamard 方向可微性（其涉及边界控制，且状态到障碍的关系由偏微分方程描述）。
引用
@article{arxiv.2105.05895,
title = {Lipschitz Stability and Hadamard Directional Differentiability for Elliptic and Parabolic Obstacle-Type Quasi-Variational Inequalities},
author = {Constantin Christof and Gerd Wachsmuth},
journal= {arXiv preprint arXiv:2105.05895},
year = {2021}
}