LMI区域的几何性质

LMI（线性矩阵不等式）区域是控制理论中出现的一类重要的 $\mathbb C$ 凸子集。LMI 区域 $\mathfrak D$ 由其矩阵值特征函数 $f_{\mathfrak D}(z) = {\mathbf L} + z{\mathbf M}+\bar{z}{\mathbf M}^T$ 定义如下：${\mathfrak D} := \{z \in {\mathbb C}: f_{\mathfrak D}(z)\prec 0\}$。本文从凸几何的角度研究 LMI 区域，依据矩阵 $\mathbf M$ 和 $\mathbf L$ 的性质描述其边界、衰退锥、线性空间及其他特征。反之，我们研究矩阵 $\mathbf M$ 和 $\mathbf L$ 的性质（如正规性、正定与负定性）与相应 LMI 区域 $\mathfrak D$ 的性质之间的联系。我们给出了 LMI 区域与半平面、带状区域、圆锥扇区和双曲线边等基本区域之交重合的条件。我们还分析了与极点配置相关的以下问题：对于给定的由 $f_{\mathfrak D}$ 定义的 LMI 区域 $\mathfrak D$，如何找到一个以实轴为中心、闭圆盘 $D(x_0, r)$，使得 $D(x_0, r) \subseteq {\mathfrak D}$？