线性矩阵不等式的矩阵松弛
算子代数
2018-04-27 v2 最优化与控制
摘要
给定线性矩阵不等式(LMIs) L_1 和 L_2，自然要问：(Q1) 何时一个支配另一个，即 L_1(X) PsD 是否蕴含 L_2(X) PsD？(Q2) 何时它们具有相同的解集？这类问题可能是 NP 困难的。本文描述了一种 LMI 的自然松弛，基于用矩阵替代变量 x_j。通过这种松弛，支配问题 (Q1) 和 (Q2) 有了优雅的答案，实际上可归结为可构造的半定规划。假设存在 X 使得 L_1(X) 和 L_2(X) 均为 PD，并假设 L_1 的正性域是有界的。对于我们的“矩阵变量”松弛，(Q1) 的肯定回答等价于存在矩阵 V_j 使得 L_2(x)=V_1^* L_1(x) V_1 + ... + V_k^* L_1(x) V_k。至于 (Q2)，我们证明在冗余意义下，L_1 和 L_2 是酉等价的。此类代数证书通常被称为 Positivstellensaetze，上述内容即是线性多项式的此类例子。本文进一步为在形如 {X | L(X) PsD} 的有界集上取正的多项式推导了一个更简洁且更强大的 Putinar 型 Positivstellensatz。本文核心的一个观察是，松弛后的 LMI 支配问题等价于一个经典问题。即，确定从矩阵子空间到矩阵代数的线性映射是否为“完全正”的问题。
引用
@article{arxiv.1003.0908,
title = {The matricial relaxation of a linear matrix inequality},
author = {J. William Helton and Igor Klep and Scott McCullough},
journal= {arXiv preprint arXiv:1003.0908},
year = {2018}
}
备注
v1: 34 pages, v2: 41 pages; supplementary material is available in the source file, or see http://srag.fmf.uni-lj.si/