映射模空间中的度量与收敛性

我们提供了一个研究映射族收敛性质的通用框架。对于配备了体积形式 $\mathcal{V}$ 的流形 $M$ 和 $N$，我们考虑集合 $\{(\phi, B) : B \subset M, \phi:B \rightarrow N\text{ 两者均可测}\}$ 中的映射族，并在该集合上定义了一个类似于 $L^1$ 距离的距离函数 $\mathcal{D}$。$\mathcal{D}$ 的定义依赖于若干参数，但我们表明度量空间的性质和拓扑不依赖于这些选择。特别地，我们证明了该度量空间总是完备的。在探索了 $\mathcal{D}$ 的性质之后，我们将重点转向探索此类映射族的收敛性质。