多集空间上的度量拓扑作为拓扑单半群及其群完成

我们构造了在度量空间 $X$ 上的多集空间 $\mathbb{N}[X]$，其同时具备理想的拓扑性质且可自然采用匹配度量 $d_{\mathbb{N}[X]}$，从而成为具有可度量化的阿贝尔拓扑单半群，其结构与原始度量上的 $X$ 兼容。该框架可自然推广至自由阿贝尔群 $\mathbb{Z}[X]$，其中度量 $d_{\mathbb{Z}[X]}$ 诱导可度量化的阿贝尔拓扑群结构。我们进一步识别了 $\mathbb{N}[X]$ 的度量完备，证明其携带该匹配度量的规范性延拓。