凸集的无维数描述

在多种应用中出现的凸集对每个相关维数都有良好定义。例子包括对应于概率分布和量子态的单纯形与谱单纯形；整数规划中的组合多面体及其松弛如割多面体和椭圆体；以及逆问题中正则化子的单位球如 $\ell_p$ 与 Schatten 范数。此外，这些集合通常使用锥描述来指定，而这类描述显然可在任意维数下实例化。我们发展了一个系统性框架来研究凸集的这种无维数描述。我们表明，无维数描述源于代数拓扑中一种新近发现的现象，称为表示稳定性，它将一组群表示序列中跨维数的不变量联系起来。我们的框架给出了关于无维数描述的结构性结果，涉及它们所描述的集合在跨维数上的关系、给定维数中单个集合到自由描述序列的可扩展性，以及此类序列的连续极限。我们还开发了一个程序，以获得结构适配于给定应用的无自由描述凸集的参数族；通过文献中出现的例子以及使用我们的程序导出的新族提供了说明。我们在两种背景下展示了我们框架的效用。首先，我们为凸回归问题的无维数类比开发了一种算法，其中将凸函数拟合到输入输出数据；通过搜索我们的参数族，我们可以将函数拟合到低维输入并扩展到任何其他维数。其次，我们证明许多对称锥规划序列可以在常数时间内求解，这统一并加强了文献中的若干结果。