凸锥问题的模板及其在稀疏信号恢复中的应用

本文开发了一个通用框架，用于求解信号处理、机器学习、统计学及其他领域中频繁出现的各种凸锥问题。该方法的工作流程如下：首先，确定问题的锥形公式；其次，确定其对偶形式；第三，应用平滑化；第四，使用最优一阶方法求解。该方法的一个优点是灵活性：例如，所有压缩感知问题都可以通过此方法求解。这些模型包括具有目标泛函的问题，例如全变分范数、||Wx||_1（其中W是任意的）或其组合。此外，本文还引入了一些技术贡献，例如一种新颖的延拓方案、一种控制步长的新方法，以及一些新结果，表明平滑问题与非平滑问题有时在形式上等价。结合我们的框架，这些贡献产生了新颖、稳定且计算高效的算法。例如，我们的通用实现与解决诸如LASSO等深入研究问题的最先进方法具有竞争力。此外，数值实验表明，可以在几百次迭代内解决Dantzig选择器问题，而此前尚无有效的大规模求解器。最后，本文附带了软件发布。该软件不是一个单一的、整体的求解器；而是一套程序和例程，旨在作为构建完整算法的模块。