半代数集的简单逼近及其在控制中的应用
最优化与控制
2015-09-15 v1 系统与控制
摘要
在控制系统分析与设计中遇到的许多不确定性集可用半代数集表示，即表示为由多项式不等式描述的集合之交。重要例子如线性矩阵不等式的解集或 Schur/Hurwitz 稳定域。这些集合常具有非常复杂的形状（非凸甚至非连通），导致其处理极为困难。因此，寻找这些集合的足够简单的逼近、在保持低复杂度同时捕捉其主要特征具有相当重要的意义。出于这些原因，近年来已提出若干基于超矩形、多胞形或椭球的凸逼近。本文更进一步，提出可能非凸的逼近，其基于给定次数的单个正多项式的小体积多项式上水平集。我们展示了如何通过最小化该多项式在半代数集上的 L1 范数（受正性约束）来轻松逼近这些集合。直观上，这对应于最小体积椭球问题中常见的迹最小化启发式。从计算角度看，我们设计了一系列线性矩阵不等式问题的层次来生成这些逼近，并给出了理论严格的收敛结果，即外逼近层次在体积上（或等价地，几乎处处且几乎一致地）收敛到原始集合。考虑了所提方法的两个主要应用。第一个旨在从有限个样本重建/逼近集合。第二个中，我们展示了多项式上水平集的概念如何用于生成给定半代数集上均匀分布的样本。不同数值例子证明了所提方法的效率。
引用
@article{arxiv.1509.04200,
title = {Simple Approximations of Semialgebraic Sets and their Applications to Control},
author = {Fabrizio Dabbene and Didier Henrion and Constantino Lagoa},
journal= {arXiv preprint arXiv:1509.04200},
year = {2015}
}