关于 Putinar-Vasilescu 正定性定理的复杂度

我们给出了 Putinar-Vasilescu 正定性定理中加权平方和（SOS）多项式的一个新次数界。这导出了另一个正定性定理：若 $f$ 是次数至多为 $2 d_f$ 且在由有限多个多项式不等式 $g_j(x)\ge 0$（$j=1,\dots,m$）定义、具有非空内部的半代数集上非负的多项式，其中 $g_1:=L-\|x\|_2^2$（$L>0$），则存在依赖于 $f,g_j$ 的正常数 $\bar c$ 和 $c$，使得对任意 $\varepsilon>0$，所有 $k\ge \bar c \varepsilon^{-c}$，$f$ 具有分解 \begin{equation} \begin{array}{l} (1+\|x\|_2^2)^k(f+\varepsilon)=\sigma_0+\sum_{j=1}^m \sigma_jg_j \,, \end{array} \end{equation} 其中某些 SOS 多项式 $\sigma_j$ 满足 $\sigma_0,\sigma_jg_j$ 的次数至多为 $2(d_f+k)$。此处 $\|\cdot\|_2$ 表示 $\ell_2$ 向量范数。作为推论，我们得到了基本紧半代数集上多项式优化下界的一个收敛半定松弛层次。该层次的复杂度为 $\mathcal{O}(\varepsilon^{-c})$（给定精度 $\varepsilon>0$）。特别地，若 $m=L=1$ 则 $c=65$，得到单位球上多项式最小化的复杂度 $\mathcal{O}(\varepsilon^{-65})$。我们的结果改进了 Nie 与 Schweighofer 在 [Journal of Complexity 23.1 (2007): 135-150] 中给出的复杂度界 $\mathcal{O}(\exp(\varepsilon^{-c}))$。