Pólya 正定性定理的次数界

关于 $1$-单形的 Pólya 正定性定理 (Pólya's Positivstellensatz) 指出，若 $P(x)$ 是实多项式且当 $x \ge 0$ 时 $P(x)>0$，则对于足够大的 $m$，$(1+x)^mP(x)$ 的所有系数均为正。Powers-Reznick 给出了 Pólya 正定性定理的复杂度估计。即他们证明，对于次数为 $d$ 的此类 $P(x)$，当 $m > \frac{1}{2} (d^2 -d) \frac{L(P)}{\lambda(P)} - d$ 时，$(1+x)^mP(x)$ 的所有系数均为正，其中 $\frac{L(P)}{\lambda(P)}$ 是 $P(x)$ 的一个不变量。针对 $d=3$ 和 $d=4$ 的情形，我们改进了 Powers-Reznick 的界：对于 $d=3$ 给出 $m > \frac{3}{2} \frac{L(P)}{\lambda(P)} - 1$，对于 $d=4$ 给出 $m > \frac{4232}{2505} \frac{L(P)}{\lambda(P)} - 1$。