模的格罗布纳基的次数界

设 $F$ 是多项式环 $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ 上的非负分次自由模，由 $m$ 个基元生成。设 $M$ 是 $F$ 的一个子模，由 $F$ 中次数不超过 $D$ 的元素生成，且 dim $F/M$=$r$。我们证明，若 $M$ 是分次的，则对任意项序，$M$ 的约化格罗布纳基的次数界为 $2\left[1/2((Dm)^{n-r}m+D) \right]^{2^{r-1}}$。若 $M$ 不是分次的，该界为 $2\left[1/2((Dm)^{(n-r)^2}m+D) \right]^{2^{r}}$。这是对 Dubé(1990) 与 Mayr-Ritscher(2013) 关于多项式环中理想的界的推广。