Gröbner基与临界值：行列式系统的渐近组合学
交换代数
2022-03-21 v1 符号计算
摘要
我们考虑涉及多项式矩阵最大子式的理想。例如，在计算多项式限制在簇上的临界值以进行多项式优化时产生的理想。Gröbner基是求解多项式系统的经典工具。对于实际计算，这包含两个阶段。首先，关于DRL（次数逆字典序）序计算一个Gröbner基。然后，使用由Faugère和Mou设计的变序算法，如Sparse-FGLM，来寻找同一理想但关于字典序的Gröbner基。后一步骤的复杂度，以算术运算次数计，为O(mD^2)，其中D是理想的次数，m是某个D×D矩阵的非平凡列数。虽然对于一般多项式系统，m的渐近估计是已知的，但迄今为止，Sparse-FGLM算法对于行列式系统的复杂度是未知的。通过假设Fröberg猜想，我们扩展了Moreno-Socías的工作，详细描述了行列式设定下DRL阶梯的结构。然后，我们通过将m与这些希尔伯特级数的系数联系起来，研究了量m的渐近性质。结果，我们得到了对于一般行列式系统和一般临界点系统，Sparse-FGLM算法复杂度的新界限。我们考虑多项式环K[x_1, ..., x_n]中的理想，其中K是某个无限域，该理想由p个d次一般多项式和具有d-1次一般元素的p×(n-1)多项式矩阵的最大子式生成。然后，对于d=2且n远大于p的情况，我们给出了用n和p表示的m的精确公式。此外，对于d≥3，当n→∞时，我们给出了用n、p和d表示的m的渐近公式。
引用
@article{arxiv.2203.10021,
title = {Gr\"obner bases and critical values: The asymptotic combinatorics of determinantal systems},
author = {Alin Bostan and Jérémy Berthomieu and Andrew Ferguson and Mohab Safey El Din},
journal= {arXiv preprint arXiv:2203.10021},
year = {2022}
}