有限半代数集上基于有理数的有效Positivstellensatz

我们研究了用有理平方和表示在有限半代数集上非负和严格正的多项式（系数为有理数）的问题。我们关注由等式约束（生成零维理想I）和非负符号约束定义的有限半代数集S的情况。首先，我们得到了存在性结果。我们证明，即使理想I不是根理想，系数在R的子域K中的严格正多项式f也可以表示为该域中系数的加权平方和。我们将此结果推广到f在S上非负且(f) + (I : f) = 1的情况。我们推断，当理想是根理想时，系数在K中的非负多项式可以表示为系数在K中的多项式的平方和。其次，我们获得了此类平方和表示的次数界，当定义方程构成一个分级基时，该次数界线性依赖于理想的正则性和定义方程的次数。最后，在理想为根理想的情况下，我们分析了系数在Q中的多项式的平方和表示的比特复杂度。比特大小界在贝祖界中是二次或三次的，在正则性中是线性的，这推广并改进了先前针对特殊零维理想获得的结果。作为多项式优化背景下的一个应用，我们检索并改进了关于矩/平方和层级有限收敛性和精确性的结果。