基于有理函数平方和表示的半正定多项式矩阵

本文证明了在某些特殊集合上半正定的多项式矩阵的基于有理函数平方和表示（简称 sosrf 基表示）：$\mathbb{R}^n$；$\mathbb{R}$ 及其区间 $[a,b]$、$[0,\infty)$；以及条带 $[a,b] \times \mathbb{R} \subset \mathbb{R}^2$。同时给出了数值计算此类表示的方法。该方法分为两个阶段：（S1）基于 Schmüdgen 过程 \cite{Schmudgen09} 对初始多项式矩阵对角化；（S2）对所得矩阵的每个对角元，求解 Hilbert 第 17 问题（Artin 定理），找到其低秩 sosrf 表示。针对每类多项式矩阵，还给出了使用 \textsf{OCTAVE} 的数值测试与示例。