精确多项式平方和分解的面约化方法

我们研究在相关半定规划可行但非严格可行（例如多项式具有实零点）的情况下，将非负多项式分解为精确平方和(SOS)的问题。通过符号化计算原多项式的根并应用面约化技术，我们可以从代数上求解该问题，或限制到一个子空间使问题变为严格可行，从而将数值近似舍入为精确解。作为一个应用，我们研究了一个问题：何时一个具有实系数多项式平方和的有理多项式可以写成具有有理系数多项式的平方和，并对一些先前未知的情况给出了回答。我们首先证明，若$f$是在${\mathbb Q}$的奇次代数扩张中系数的两个平方和，则它总可分解为有理SOS。对于多于两个多项式的情况，我们给出一个不可约多项式的例子，它是具有${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2})$系数的三个平方和，但不能分解为有理SOS。