非负一元多项式的加权和平方分解算法

众所周知，每个非负一元实多项式都可以写成两个实系数多项式平方的和。当允许使用有限多个平方的加权和代替两个平方的和时，可以选择该表示中的所有系数均属于由该多项式系数生成的域。在本文中，我们从理论和实践两个角度描述、分析并比较了两种计算具有有理系数的一元多项式的此类加权和平方分解的算法。第一种算法由第三作者提出，依赖于实根隔离、正多项式的二次逼近和无平方分解，但其复杂度此前未被分析。我们给出了该算法在运行时间和输出大小上的位复杂度估计。它们关于输入一元多项式的次数是指数级的，关于其复杂度的最大位长是线性的。该分析是利用量词消去和根隔离界得到的。第二种算法由 Chevillard、Harrison、Joldes 和 Lauter 提出，依赖于复根隔离和无平方分解，是为在计算机算术背景下认证多项式正性而引入的。同样，其复杂度此前也未被分析。我们给出了该算法在运行时间和输出大小上的位复杂度估计，它们关于输入多项式的次数是多项式级的，关于其复杂度的最大位长是线性的。该分析是利用 Vieta 公式和根隔离界得到的。最后，我们报告了这两种算法的实现。尽管正如复杂度结果所预期的那样，第二种算法在大多数示例中效率更高，但我们展示了使第一种算法表现更好的非负多项式族。