受张量启发的具有不变性与正性的多项式分解

我们提出一个在保持不变性和正性的同时分解实多元多项式的框架。该框架最近被引入用于张量分解，特别是量子多体系统。在此，我们将关于分解结构、变量置换下的不变性、正性、秩不等式与分离、逼近以及不可判定性的结果迁移到实多项式。具体而言，我们定义多项式的不变分解并刻画哪些多项式允许此类分解。随后我们纳入正性：定义不变可分离分解与平方和分解，并类似地刻画相应多项式。我们给出分解秩之间的不等式与分离，并表明这些分离相对于逼近是不鲁棒的。对于循环不变分解，我们证明对于任意系统规模下多项式是否非负或平方和是不可判定的。我们的工作通过将多项式与张量置于同等地位，为多项式提供了新视角，并为将该框架扩展至其他张量积结构打开了大门。