基于前推测度的全局多项式优化平方和层级的非收敛性

设 $\mathbf{X} \subseteq \mathbb{R}^n$ 为闭集，考虑计算多项式 $f$ 在 $\mathbf{X}$ 上的最小值 $f_{\min}$ 的问题。给定支撑在 $\mathbf{X}$ 上的测度 $\mu$，Lasserre (SIAM J. Optim. 21(3), 2011) 提出了 $f_{\min}$ 的一个递减上界序列，其中每个上界均可通过求解半定规划来计算。当 $\mathbf{X}$ 紧致时，在关于 $\mu$ 的轻微假设下，这些界收敛于 $f_{\min}$。随后，Lasserre (Math. Program. 190, 2020) 引入了一个相关但更为经济的上界序列，该序列依赖于 $\mu$ 在 $f$ 下的前推测度。尽管这些新界在先验意义上较弱，但它们在紧致集上实际上达到了相似的渐近收敛率。在本工作中，我们证明了在非紧致设定下不存在这种“免费午餐”。虽然当 $\mathbf{X} = \mathbb{R}^n$ 且 $\mu$ 为高斯分布时，标准界向 $f_{\min}$ 的收敛是有保证的，但我们证明了在该设定下，依赖于前推测度的界在多项式次数为 $6$ 时即无法收敛至 $f_{\min}$。