Lasserre 基于单变量测度的多元多项式优化界之近最优分析

我们考虑 Lasserre 最近提出(arXiv:1907.097784, 2019)的、关于多项式 $f$ 在紧集 $K \subseteq \mathbb{R}^n$ 上最小化的上近似层次。该层次依赖于使用多项式 $f$ 对 $K$ 上 Lebesgue 测度的推前测度，并涉及次数渐增为 $2r$ 的单变量多项式平方和。因此，它比 Lasserre 早先的层次(SIAM Journal on Optimization 21(3), 864--885, 2011)更弱，但计算代价更低，后者使用多变量平方和。我们证明，当 $K$ 满足一个温和的几何条件时，该新层次以 $O(\log^2 r / r^2)$ 的速率收敛到 $f$ 的全局最小值，该条件对凸体以及具有稠密内部的紧半代数集等成立。作为一个应用，该收敛速率也适用于基于多变量平方和的更强层次，这改进并将早期的收敛结果扩展到更广泛的紧集类。此外，我们通过证明在 $K=[-1,1]$ 上一类多项式的收敛速率下界 $\Omega(1/r^2)$，利用与正交多项式的联系，表明我们的分析是近最优的。