上同调增长率与 Kazhdan-Lusztig 多项式

在先前的工作中，作者们为半单代数群 G（在正特征 p 下）和（Lusztig）量子群 U_ζ（在单位根 ζ 处）的不可约模的 n 次上同调与 Ext-群的维数建立了各种界。这些界仅依赖于根系，而不依赖于特征 p 或单位根 ζ 的大小。本文研究了这些界的增长率。在量子和代数群两种情形下，这些增长率代表了与根系 Φ 相关的新的基本不变量。对于固定 Φ 的量子群 U_ζ，我们证明序列 {max_{L 不可约} dim H^n(U_ζ, L)}_n 具有与 ζ 无关的多项式增长。事实上，我们给出了多项式增长率的上下界。这些结果以及 U_ζ 的 Ext^n 的相关结果被应用于 Kazhdan-Lusztig 多项式。代数群情形下的多项式增长仍是一个开放问题，尽管我们证明了对于任意固定素数 p，{log max_{L 不可约} dim H^n(G, L)} 具有次数 ≤ 3 的多项式增长（若允许 p 随 n 变化，则次数 ≤ 4）。我们指出了这些问题与 Guralnick、Kantor、Kassabov 和 Lubotzky 在《GKKL》中提出的关于具有不可约系数的有限单群的高阶上同调群理论中常数（的附加结构）的相关性。