Frobenius-Lusztig 核的表示与上同调

设 $U_\zeta$ 是与单李代数 $\mathfrak{g}$ 相关的量子群 (Lusztig 形式), 参数 $\zeta$ 取为特征 $p>0$ 的域中一个 $\ell$ 次本原根。本文研究 $U_\zeta$ 的某些有限维正规 Hopf 子代数 $U_\zeta(G_r)$, 称为 Frobenius-Lusztig 核, 它们推广了代数群 $G$ 的 Frobenius 核 $G_r$。当 $r=0$ 时, 这里研究的代数退化为 Lusztig 引入的小量子群。我们对不可约 $U_\zeta(G_r)$-模进行分类并讨论其特征标。然后研究 Frobenius-Lusztig 核以及对应于 $G$ 的幺幂子群和 Borel 子群的某些幂零子代数和 Borel 子代数的上同调环。我们证明, 当 $\mathfrak{g}$ 为 $A$ 型或 $D$ 型时, 第一个 Frobenius-Lusztig 核的上同调环是有限生成的, 并且幂零子代数和 Borel 子代数的上同调环在一般情况下是有限生成的。