正则半单 Lusztig 变形的几何结构

Lusztig 变形是与 Weyl 群 $W$ 中的元素 $w$ 以及元素 $x \in G$ 相关联的旗形单体 $G/B$ 中的子varieties，首次由 Lusztig 在其字符羽论论文中引入。我们研究当 $x$ 为正则半单时这些变形的几何性质。在第一部分，我们证明它们是正规的、Cohen-Macaulay 的、具有纯预期维数且具有理想奇点。随后我们表明在任意特征中，充分大的线性范畴的 cohomology 在正次数上消失。这一结果在特征为零或足够大的特征时也适用于顺势（nef）线性范畴。我们在此过程中证明 Lusztig 变形在正特征中是 Frobenius 可分的，其开放细胞是仿射的。我们还证明 Deligne-Lusztig 变形的开放细胞是仿射的，这解决了自 Deligne 和 Lusztig 基础论文以来一直悬置的疑问。在第二部分，我们探讨它们与正则半单 Hessenberg 变形之间的关系。这两种变形都接受 Tymoczko 的点作用作用于其（交叉）cohomology 上的 $W$。我们为每个 $W$ 中的元素 $w$ 构造一个 Hessenberg 空间，使用与 $w$ 相关联的 Schubert 变形的切锥，证明当它们光滑时，关联的正则半单 Lusztig 变形与 Hessenberg 变形的 cohomology 作为加权 $W$ 表示同构。该关系也延伸至变形层面：我们构造了正则半单 Lusztig 变形到正则半单 Hessenberg 变形的平坦退化。在 particular，这证实了 Abreu 和 Nigro 在类型 $A$ 中关于正则半单 Lusztig 变形同胚类型的一个猜想，并将其推广到任意 Lie 类型。