某些亚交换群的最大子群增长

设 $m_n(G)$ 表示 $G$ 中指数为 $n$ 的最大子群的个数。本文给出了所有多环亚交换群 $G$ 的最大子群增长次数（即对于 $\limsup \frac{\log m_n(G)}{\log n}$，也就是 $m_n(G)$ 的多项式增长次数）的上界。给出了该上界被取到的条件。对于 $G = \mathbb{Z}^k \rtimes \mathbb{Z}$，其中 $A \in GL(k,\mathbb{Z})$，证明了 $m_n(G)$ 的增长类似于一个次数等于 $A$ 的有理标准形中块数的多项式。该多项式的首项是 $A$ 的最小块的特征多项式的不同根（在 $\mathbb{C}$ 中）的个数。