极大阿贝尔子群大小的下界

设 $G$ 为某个素数 $p$ 下的 $p$-群。设 $n$ 为正整数，使得 $|G:Z(G)| = p^n$。假设 $A$ 是 $G$ 的一个极大阿贝尔子群。令 $$p^l = {\rm max} \{|Z(C_G (g)):Z(G)| : g \in G \setminus Z(G)\},$$ $$p^b = {\rm max} \{|cl(g)| : g \in G \setminus Z(G) \},$$ 且 $p^a = |A:Z(G)|$。那么我们证明 $a \ge n/(b+l)$。