马尔可夫链的Littlewood-Offord问题

著名的Littlewood-Offord问题要求对随机变量$\epsilon_1 v_1 + \cdots + \epsilon_n v_n$落在欧氏单位球内的概率给出上界，其中$\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n \in \{-1, 1\}$为独立的Rademacher随机变量，$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^d$为长度至少为1的固定向量。我们将许多已知结果推广到$\epsilon_i$由马尔可夫链生成的情形，包括Erd\H{o}s在标量情形与Kleitman在向量情形首先给出的一般界，以及S\'ark\"ozy和Szemeredi在$v_i$为互异整数限制下的结果。在所有推广中，上界都含有一个依赖于谱间隙的额外因子。我们还利用类似技术为Littlewood-Offord问题构造了一个伪随机数生成器。