$\mathbb{Z}_p$ 中的一类 Littlewood-Offord 问题及 $\Gamma$-可序列性

Littlewood-Offord 问题是概率论与离散数学中的一个经典问题，最早由 Littlewood 与 Offord 于 1940 年代提出。给定一个整数集 $A$，该问题求随机选取的 $A$ 的子集 $X$ 之和为一整数 $x$ 的概率的上界。本文提出该问题的一个变体，考虑素数阶循环群的一个子集 $A$，并考察给定基数 $\ell$ 的子集 $X\subseteq A$。本文的主要焦点在于界定 $\ell$ 个独立同分布变量 $Y_1,\dots, Y_{\ell}$ 之和 $Y$ 的概率分布，这些变量的支撑包含于 $\mathbb{Z}_p$ 中。此处给出的主要结果是：若变量 $Y_i$ 的概率分布以 $\lambda \leq 9/10$ 为界，则假设 $p> \frac{2}{\lambda}\left(\frac{\ell_0}{3}\right)^{\nu}$（对某个 $\ell_0\leq\ell$），$Y$ 的分布以 $\lambda\left(\frac{3}{\ell_0}\right)^{\nu}$ 为界，其中 $\nu$ 为某正常数绝对常数。由此可推出在 $n$ 足够大时，$\mathbb{Z}_p$ 上关于给定基数 $\ell$ 子集 $X$ 的 Littlewood-Offord 问题的类似结果。最后，作为我们结果的应用，提出集合可序列性问题的一种变体：即 $\Gamma$-可序列性。给定顶点集为 $\{1,2,\dots,n\}$ 的图 $\Gamma$ 与大小为 $n$ 的子集 $A\subseteq \mathbb{Z}_p$，此处我们希望找到 $A$ 的一个排序，使得当 $\{i,j\}\in E(\Gamma)$ 时部分和 $s_i$ 与 $s_j$ 不同。作为我们对 Littlewood-Offord 问题结果的推论，我们得以证明：若 $\Gamma$ 的最大度至多为 $d$、$n$ 足够大且 $p>n^2$，则任意大小为 $n$ 的子集 $A\subseteq \mathbb{Z}_p$ 都是 $\Gamma$-可序列的。