$\mathbb{Z}_p$ 中随机和的反浓度

本文研究 $\ell$ 个独立同分布随机变量求和 $Y$ 的概率分布。我们的主要关注点是 $\ell$ 取小值的情形，这一情形相较于 $\ell \to \infty$ 的渐近情形研究得较少。首先我们考虑 $\ell=3$ 的情况，证明如果各 $Y_i$ 的分布被紧界为 $\lambda < 1$ 且 $p > 2/\lambda$，则存在常数 $C_{3,\lambda} < 1$，使得 $$\max_{x \in \mathbb{Z}_p} \mathbb{P}[Y = x] \leq C_{3,\lambda}\lambda.$$ 此外，当分布均匀地远离 1 时，常数 $C_{3,\lambda}$ 可以显式给出。通过迭代该论证，我们获得更大 $\ell$ 值的有效反浓度界，已在 $\ell$ 较小和适中的情况下给出非平凡估计，而这些估计在渐近结果不适用时依然有效。