关于随机图支配数集中性的研究

本文研究了 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图$\mathcal{G}(n,p)$的支配数行为。扩展 Wieland 和 Godbole 的结果，我们表明只要$p \gg \frac{\ln^2n}{\sqrt{n}}$，$\mathcal{G}(n,p)$的支配数以渐近几乎必然的概率等于两个值之一。这些显式值恰好位于一阶矩阈值处，即支配集的期望数量开始趋向无穷大的地方。对于较小的$p$，我们还提供了各种非集中性结果，表明了为何在我们的第一个定理中需要对概率$p$设定某种下界。对于每个$p\gg 1/n$，我们证明了集中性，尽管不是在常数长度区间上。这些结果表明，与$p \gg \frac{\ln^2n}{\sqrt{n}}$情况下支配数集中在一阶矩阈值附近不同，当$p = O(\ln n/n)$时，其集中在中位数附近。特别地，在该范围内，两者相距甚远。