随机图中支配团簇的出现

本文研究了 Erd"os-R\'enyi 随机图模型 ${\bbbg(n,p)}$ 中支配团簇的出现现象。结果表明该现象具有相变。具体而言，我们论证了：给定常数概率 $p$，从 ${\bbbg(n,p)}$ 中选取的 $n$ 节点随机图 $G$，且 $r= c \log_{1/p} n$（其中 $1 \leq c \leq 2$），则：(1) 若 $p > 1/2$，则 $r$ 节点团簇几乎必然在 $G$ 中是支配的；(2) 若 $p \leq (3 - \sqrt{5})/2$，则 $r$ 节点团簇几乎必然在 $G$ 中不是支配的。对概率 $p$ 的剩余范围进行了更细致的讨论。详细研究表明，该问题的答案取决于 $r$ 随 $n$ 的对数以下增长性质的考察。