每个组件都是 clique 的 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图

受社区检测应用的启发，我们考虑一个 ER 随机图，条件是所有连通分支完全连接的罕见事件。此类图可视为将顶点划分为 clique 的划分。因此，该条件分布定义了一个关于划分的分布。我们展示了一种流行的社区检测方法等价于以该分布作为社区划分的先验进行贝叶斯推断。使用解析组合学工具，我们在该条件分布中证明了几个图可观测量的极限定理：clique 的数量；边的数量；以及度分布。我们考虑作为顶点数 $n$ 发散时的各种连接概率 $p$ 的情形。对于 $p=\tfrac{1}{2}$，条件会产生对集合划分的均匀分布，这一分布已为人所熟知，但尚未作为图分布来研究。对于 $p<\tfrac{1}{2}$，我们指出 clique 的数量为 $n/\sqrt{\log n}$ 的数量级；而对于 $p>\tfrac{1}{2}$，我们证明该图以高概率由单个 clique 组成。这表明在 $p=\tfrac{1}{2}$ 处存在相位转变。我们额外地研究了接近临界情形 $p_n\downarrow\tfrac{1}{2}$，以及稀疏情形 $p_n\downarrow0$。最后，我们讨论这些结果对社区检测的影响。