Erdős-Rényi 随机图的模块度

对于给定的图 $G$，每个顶点划分都有一个模块度得分，值越高表明该划分越好地捕捉了 $G$ 中的社区结构。图 $G$ 的模块度 $q^*(G)$ 定义为所有顶点划分上模块度得分的最大值，且满足 $0\leq q^*(G) < 1$。模块度是其中最流行的社区发现算法的核心。我们研究具有 $n$ 个顶点和连边概率 $p$ 的 Erdős-Rényi 随机图 $G_{n,p}$ 的模块度行为。两个关键发现是：当 $np$ 至多为 $1+o(1)$ 时，模块度以高概率（whp）为 $1+o(1)$ 且不再更大；而当 $np \geq 1$ 且 $p$ 有低于 1 的下界时，其以 whp 具有阶 $(np)^{-1/2}$，这与 Reichardt 和 Bornholdt 在 2006 年提出的一个猜想一致。我们还表明，与最优顶点划分的敏感性相反，图的模块度对少数边的变化是鲁棒的。