$G(n,p)$ 图的模块性新上界

模块性是衡量图中社区结构存在性的参数，目前位于广泛使用的聚类算法的核心。我们研究最经典的随机图——二项分布 $G(n,p)$ 的模块性。在 2020 年，McDiarmid 和 Skerman 利用谱图论和 Coja-Oghlan 于 2007 年提出的特定子图构造方法，证明存在常数 $b$ 使得当概率很大时，$G(n,p)$ 的模块性最多为 $b/\sqrt{np}$。获得的常数 $b$ 很大且难以计算。我们改进该结果，表明可推导出小于 3 的常数。有趣的是，这可能通过基本概率工具获得。我们也讨论了 $G(n,p)$ 模块性的下界，并改进了 McDiarmid 和 Skerman 于 2020 年的结果，这些结果使用了 Dembo、Montanari 和 Sen 于 2017 年推导的随机图二分图估计。