随机图中社区结构的普适临界性

我们考察了大小为 $n$、连接概率为 $p/n$ 的随机图中的社区结构，该结构由 Newman 模块度贪婪优化确定。计算表明，对于 $p<1$，社区与簇几乎相同。对于 $p=1$，社区平均大小 $s_{av}$ 和巨社区大小 $s_g$ 显示出幂律增长 $s_{av}\sim n^{\alpha'}$ 和 $s_g\sim n^{\alpha}$。根据数值结果，我们估计 $\alpha'\approx 0.26(1)$，$\alpha\approx 0.50(1)$，并利用社区大小的概率分布提出 $\alpha'=\alpha/2$ 应当成立。对于 $p>1$，社区结构保持临界状态：(i) $s_{av}$ 和 $s_g$ 具有幂律增长，且 $\alpha'\approx\alpha <1$；(ii) 社区大小的概率分布非常宽泛，且在直至 $s_g$ 的所有大小范围内近乎平坦。对于较大的 $p$，模块度 $Q$ 按 $Q\sim p^{-0.55}$ 衰减，介于先前的一些估计之间。为了验证结果的有效性，我们还使用另一种方法（即模块度的非贪婪优化）确定了社区结构。对一些基准网络的测试表明，该方法优于贪婪版本。然而，对于随机图，使用贪婪和非贪婪优化确定的社区结构特征在小统计波动范围内是相同的。