随机图控制数的两点集中

我们证明了，对于边概率为 $p$ 的二项随机图 $G_{n,p}$，当 $p \ge n^{-2/3+\eps}$ 时，其控制数集中在两个值上；而对于一般的 $p \le n^{-2/3}$，则不集中在两个值上。这反驳了 Glebov、Liebenau 和 Szabo 的猜想，他们证明了当 $p \ge n^{-1/2+\eps}$ 时存在两点集中，并猜想当 $p \ll n^{-1/2}$ 时两点集中不成立。我们主要结果的证明需要对随机二部图没有孤立顶点的概率进行泊松型近似，而在标准工具不可用的情况下（因为孤立顶点的期望数量相对较大）这通常是难以实现的。我们通过将 Janson 不等式的证明调整适用于此情形来实现这一近似，这种调整可能具有更广泛的意义。