选取独立序列最大值的一个精确下界

本文考虑全信息秘书问题的一种变体，其中待观测的随机变量是独立的，但不一定是同分布的。主要结果是关于最优获胜概率的一个精确下界。具体而言，如果 $X_1,\dots,X_n$ 是具有已知连续分布的独立随机变量，且 $V_n(X_1,\dots,X_n):=\sup_\tau P(X_\tau=M_n)$，其中 $M_n:=\max\{X_1,\dots,X_n\}$，并且上确界取遍所有适应于 $X_1,\dots,X_n$ 的停时，那么 $$V_n(X_1,\dots,X_n)\geq \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1},$$ 并且该界是可达的。证明方法包括将问题转化为双值随机变量序列的问题，然后应用 Bruss 的赔率求和定理（2000）。为了获得每个 $n$ 的精确界，我们改进了 Bruss（2003）关于赔率求和问题的下界。