Rademacher 随机变量加权和的紧高斯界

设 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ 为独立同分布的 Rademacher 随机变量，即 $\mathbb{P}\{\varepsilon_i=\pm1\}=1/2$。设 $S_n=a_1\varepsilon_1+\cdots+a_n\varepsilon_n$，其中 $\mathbf{a}=(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^n$ 是一个满足 ${a_1^2+\cdots+a_n^2\leq1}$ 的向量。我们找到了不等式 $$\mathbb{P}\{S_n\geq x\}\leq c\mathbb{P}\{\eta\geq x\}\qquad for all x\in \mathbb{R},$$ 中可能的最小常数 $c$，其中 $\eta\sim N(0,1)$ 是标准正态随机变量。该最优值等于 $$c_*=\bigl(4\mathbb{P}\{\eta\geq\sqrt{2}\}\bigr)^ {-1}\approx3.178.$$